Ecuaciones del Movimiento Parabólico

Antes de iniciar a conocer las Ecuaciones del Movimiento Parabólico, conozcamos cada uno de los términos que intervienen en el Movimiento.

Nombre de los Términos	Símbolos
Velocidad Inicial del Proyectil	V0
Velocidad Inicial en la horizontal	V0X
Velocidad Inicial en la vertical	V0Y
El ángulo de Inclinación del Proyectil	Ɵ
seno del ángulo de Inclinación del Proyectil ó seno de theta	senƟ
Aceleración de la gravedad ó Gravedad	g
Alcance máximo ó distancia horizontal Máxima	Xmax
Altura máxima ó altura Máxima	Ymax
Tiempo de Vuelo	tv

Disparo desde un cañón

En la guerra de los Mil Días, se dispara un cañón desde el suelo con un ángulo Ɵ menor que 90° con la horizontal

Los artilleros observaron ciertos comportamiento de la distancia de impacto a medida que se variaba el ángulo de inclinación del cañón, de lo cual concluyeron que el movimiento es una composición de un movimiento uniforme a lo largo del eje X, y de un movimiento uniformemente acelerado a lo largo del eje Y. De lo anterior propusieron que:

Ecuaciones en la horizontal	Ecuaciones en la vertical
ax = 0	ay = - g
Vx = V0 cosƟ	Vy = V0 senƟ - gt
x = V0 (cosƟ).t	y = V0 senƟ - 0.5gt2

Utilizando las dos últimas ecuaciones, para eliminar el tiempo t, obtenemos la ecuación de la trayectoria (ecuación de una parábola).

La anterior ecuación es poco conocida entre los estudiantes de grado 10 y 11; las que toman más fuerza entre ellos son las de Alcance Máximo, Altura Máxima y tiempo de Vuelo, las cuales mostraremos en los siguientes párrafos:

Altura máxima que alcanza un proyectil

La altura máxima que alcanza un proyectil se obtiene cuando la componente vertical de la velocidad es nula (V_y=0). Por lo tanto la ecuación V²_y - V²_0y = - 2gy_max, queda:

0 - V²_0y = - 2gy_max, como V_y = 0.

Realizando el despeje de y_max, nos queda lo siguiente

Tiempo de Vuelo del Proyectil

El tiempo que dura un proyectil en el aire, es el doble del tiempo que dura subiendo el proyectil desde donde fue lanzado hasta su altura máxima. Por ello, utilizamos la ecuación V_y = V₀senƟ - gt, cuando el proyectil alcanza su altura máxima, V_y = 0 y despejando el tiempo (t) en la ecuación tenemos:

El tiempo que permanece el proyectil en el aire es dos veces el tiempo de subida del proyectil a su altura máxima, es decir; t_v = 2t_s, de donde nos queda que:

Alcance horizontal máximo de un proyectil

En el movimiento parabólico se da también en el eje horizontal por medio del movimiento rectilíneo uniforme y en el cual la velocidad es constante, entonces el alcance máximo se obtiene con la expresión: X_max = V₀(cosƟ)t_v

Sustituyendo el tiempo de vuelo en la expresión anterior nos queda:

Teniendo en cuenta las funciones trigonométricas, encontramos que sen(2Ɵ) = 2senƟconƟ, lo cual nos simplifica la expresión anterior, en la siguiente ecuación:

La siguiente imagen nos ilustra con relación a las componentes que intervienen en el movimiento parbólico, tanto en el eje horizontal como en el eje vertical

Movimiento Parabólico		Simulador